Racine n-ième (2) - Corrigé

Énoncé

Calculer les racines sixièmes de 64.

S olution

On a \(\begin{align*}64=64\text e^{0i}.\end{align*}\)

Soit \(z \in \mathbb{C}^\ast\) de forme exponentielle \(z=r\text e^{i\theta}\) avec  \(r>0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) .

On a :
\(\begin{align*}z^6=64 \Longleftrightarrow (r\text e^{i\theta})^6=64\text e^{0i} \Longleftrightarrow r^6\text e^{6i\theta}=64\text e^{0i}& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r^6=64 \\ 6\theta \equiv 0 \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt[6]{64}=2 \\ \theta \equiv 0 \ \left[\dfrac{2\pi}{6}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)
donc les racines sixièmes de 64 sont :

• \(2\text e^{0i}=2\)
  
• \(2\text e^{i\left(0+\frac{2\pi}{6}\right)}=2\text e^{\frac{i\pi}{3}}\)
  
• \(2\text e^{i\left(\frac{2\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}\right)}=2\text e^{\frac{2i\pi}{3}}\)
  
• \(2\text e^{i\left(\frac{4\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}\right)}=2\text e^{i \pi} = -2\)
  
• \(2\text e^{i\left(\frac{6\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}\right)}=2\text e^{\frac{4i\pi}{3}}\)
  
• \(2\text e^{i\left(\frac{8\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}\right)}=2\text e^{\frac{5i\pi}{3}}\)